Cantor's first set theory article

[6]This remark contains Cantor's uncountability theorem, which only states that an interval [a, b] cannot be put into one-to-one correspondence with the set of positive integers.

He first defines the topological notion of a point set P being "everywhere dense in an interval":[E] In this discussion of Cantor's proof: a, b, c, d are used instead of α, β, γ, δ.

This division into cases not only indicates which sequences are more difficult to handle, but it also reveals the important role denseness plays in the proof.

[23] Also, the proof in Cantor's December 7 letter shows some of the reasoning that led to his discovery that the real numbers form an uncountable set.

[38] Asserting that Cantor gave a non-constructive argument without mentioning the constructive proof he published can lead to erroneous statements about the history of mathematics.

Cantor chose "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers"), which refers to the countability of the set of real algebraic numbers, the result that Weierstrass found useful.

[61] Cantor thanked Dedekind privately for his help: "... your comments (which I value highly) and your manner of putting some of the points were of great assistance to me.

[68] Building on the work of Borel and Baire, Henri Lebesgue created his theories of measure and integration, which were published from 1899 to 1901.

In view of the great interest in this theorem, not only in the present discussion, but also in many other arithmetical as well as analytical relations, it might not be superfluous if we develop the argument followed there [Cantor's 1874 proof] more clearly here by using simplifying modifications.

In this case, every interval [γ,δ] located in [α,β], however small, contains numbers of our sequence (ω).

To show that, nevertheless, numbers η in the interval [α, β] exist that do not occur in (ω), we employ the following observation.

Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd.

260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz:     "Hat man eine einfach unendliche Reihe             ω1, ω2, . . . , ων, . . .

von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . .

β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt."

In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis], unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln.

(welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . .

Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . .

δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . .

Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen.     II.

β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an.

(Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)

Ganz ebenso mögen ωκ3, ωκ4 die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α' . . .

Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α(ν - 1), .

β(ν - 1)) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ωκ2ν – 1 und ωκ2ν), welche in das Innere von (α(ν – 1) .

β(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ωμ, für welche μ ≤ κ2ν sicher nicht in seinem Innern liegen.

Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ων, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . .

β(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . .

Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das νte, so hätte man: η = ων.

Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α(ν), β(ν)], ων aber ausserhalb desselben liegt.Note 2: Grössenlehre, which has been translated as "the theory of magnitudes", is a term used by 19th century German mathematicians that refers to the theory of discrete and continuous magnitudes.